向量

现在这个平面直角坐标系上有一个向量 v。向量 v 有两个含义：一是可以表示该坐标系下位于 (x, y) 处的一个点；二是可以表示从原点 (0,0) 到坐标 (x,y) 的一根线段。

向量运算

向量相加

向量旋转

数学原理：二维旋转矩阵与向量旋转

点乘运算

公式 a*b = a.x * b.x + a.y * b.y， 几何意义是 a*b = |a| * |b| * cosθ, 点乘的结果是一个值。

基于以上公式可以得出，如果两个向量的点乘结果为0，那么这两个向量垂直。 如果两个向量的点乘结果为他们的模长的乘积，那么这两个向量平行。

叉乘运算

首先，向量叉乘运算的结果不是标量，而是一个向量；其次，两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直。

以二维空间为例，向量 a 和 b 的叉积，就相当于向量 a（蓝色带箭头线段）与向量 b 沿垂直方向的投影（红色带箭头线段）的乘积。那如下图所示，二维向量叉积的几何意义就是向量 a、b 组成的平行四边形的面积。

叉乘运算实例

我们计算这个公式，得到的值还是一个三维向量，它的方向垂直于 a、b 所在平面。二维空间中，向量 a、b 的叉积方向就是垂直纸面朝向我们的。

其中 x 轴向右、y 轴向下的坐标系是右手系。在右手系中求向量 a、b 叉积的方向时，我们可以把右手食指的方向朝向 a，把右手中指的方向朝向 b，那么大拇指所指的方向就是 a、b 叉积的方向，这个方向是垂直纸面向外（即朝向我们）。因此，右手系中向量叉乘的方向就是右手拇指的方向，那左手系中向量叉乘的方向自然就是左手拇指的方向了。

行列式计算